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最明顯的一點是，數(shù)學家是一個豐富多彩的群體。數(shù)學開拓者們來自各個歷史時期，有各不相同的文化背景和階層。我為這本書選取的故事跨越了 2500 年。

我們的主人公們生活在古希臘、古埃及、中國、波斯、古印度、意大利、法國、瑞士、德國、俄國、英國、愛爾蘭和美國。有些人像費馬、埃達·金、柯瓦列夫斯卡婭一樣天生富足，有些人家境不上不下，有些人像高斯和拉馬努金一樣起點貧寒。

有些人像卡爾達諾和芒德布羅一樣出身書香門第；有些人像高斯、拉馬努金、牛頓和布爾一樣，是家中罕見的職業(yè)學者。歐拉、傅里葉、伽羅瓦、柯瓦列夫斯卡婭、哥德爾和圖靈生活在動蕩年代；瑪大瓦、費馬、牛頓和瑟斯頓則較為幸運地處在比較安穩(wěn)的社會中，或者應該說，至少他們棲身的環(huán)境是比較穩(wěn)定的。

牛頓

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有些人一如傅里葉、伽羅瓦和柯瓦列夫斯卡婭，積極參與政治，前兩位還曾因此入獄；歐拉和高斯等人則更想明哲保身。

這里即便存在規(guī)律，也只在一定的范圍內(nèi)起作用。書中許多人成長于知識分子家庭。有些人很懂音樂，有些人動手能力很強，有些人則連自行車都不會修。

許多人幼年早慧，在很小的時候就表現(xiàn)出非同尋常的天賦，稀松平常的巧合，比如臥室墻紙上的字、一次偶然的談話、一本借來的書，都會引發(fā)他們對數(shù)學的興趣，進而改變他們的人生。許多人一開始試圖從事其他職業(yè)，做律政和神職工作的偏多。

有些人的父母為他們驕傲并鼓勵他們繼續(xù)研究，有些人曾被禁止學習數(shù)學，有些人為了追求理想要先突破阻礙、獲得許可。

有人性格古怪，有人行事無賴，有人瘋瘋癲癲。大多數(shù)人十分正常，和我們普通人一樣。大多數(shù)人組建了自己的小家庭，但也有牛頓、諾特這樣終身未婚的。

書中提到的數(shù)學家大多數(shù)是男性，這背后隱藏著偏見。直到近些年，還有不少人認為女性在生理和心理上不適合學習數(shù)學，也不適合學習任何理科。

從前的觀念認為，女性真正應該研修的是家務技能：與其弄懂微積分，不如用好毛線針。偏見盛行的社會又反過來強化偏見，就連女性自己也常常和男性一樣，表示她們不適合追求數(shù)學理想。

曾經(jīng)有一段時期，即使女性想要學習數(shù)學，她們也會被攔在教室和考場門外，被禁止修得學位、進入學術界。我們的女性開拓者們同時開辟了兩條道路：一條穿越的是數(shù)學叢林，另一條穿越的是男性主導的社會叢林。第二條路讓第一條路變得更加艱辛。即便有人教學，有書可看，有時間思考，在數(shù)學上獲得突破也是艱難的。

如果上述條件還要通過斗爭才能獲得，那就是難上加難。盡管存在這些障礙，依然有一些偉大的女數(shù)學家打破束縛，為后人開辟了先例。時至今日，頂尖的女數(shù)學家和女科學家總的來說依然不多，但社會恐怕要讓一部分男性精英失望了，我們不再將這種現(xiàn)象簡單歸咎于女性自身的能力和心態(tài)。沒有任何證據(jù)支持這種偏見。

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人們很喜歡為不尋常的數(shù)學天賦尋找神經(jīng)學上的解釋。早年顱相學盛行的時候，弗朗茨·加爾（Franz Gall）提出，某些重要的能力與大腦的某個特定區(qū)域有關，可以通過測量頭骨的形狀來評估。如果你擅長數(shù)學，你的頭部就會有一個“數(shù)學凸”。

現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了，顱相學是一種偽科學，不過大腦的特定區(qū)域有時確實發(fā)揮著特定的作用。如今，遺傳學和 DNA 正流行，人們自然想知道是否存在“數(shù)學基因”。然而，人類思考數(shù)學只有幾千年的歷史，這樣的時間跨度應該還不足以讓生物機制完成篩選，就好比駕駛戰(zhàn)斗機的能力不會是自然演化出來的。

也許數(shù)學能力源自某些有利于生存的特點，比如敏銳的視覺、持久的記憶力、在樹木間攀爬跳躍時用到的技巧。有時數(shù)學天賦似乎源自家族遺傳，伯努利家就是個例子，但這類情形不占多數(shù)。

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而且，家庭影響的關鍵往往不是血脈，而是教養(yǎng)環(huán)境，比如家里有一位熱愛數(shù)學的叔叔，臥室里貼著數(shù)學墻紙。就連遺傳學家也逐漸意識到了，DNA 并不能決定一切。

先驅數(shù)學家確實有一些共同點。他們富有創(chuàng)造力和想象力，敢于打破固有觀念。他們尋求規(guī)律，樂于解決棘手的問題。他們密切關注邏輯要點，但也會沉溺于創(chuàng)造性的邏輯跳躍，即使暫時得不到支持，他們也堅信某些觀點值得積極捍衛(wèi)。

他們有很強的專注力，但正如龐加萊認為的那樣，過度沉迷于研究會讓人一遍遍走入死胡同。他們需要給自己的潛意識留出思考和整理的時間。他們往往記憶力超群，但也有一些人和希爾伯特一樣，并不擅長背誦東西。

他們可以是高斯和歐拉那樣的速算天才。歐拉給兩位數(shù)學家做過一次“裁判”，他們爭論的焦點是一個復雜級數(shù)求和的小數(shù)點后第 50位，最終，歐拉在頭腦中完成了計算。他們也可以是缺乏相關能力、在計算上不占明顯優(yōu)勢的人（多數(shù)速算天才并不具備比做算術更高級的能力，不過高斯是個例外）。他們擅長大量吸收前人的研究，提煉其中的精華并完成內(nèi)化；但他們也可以完全忽略傳統(tǒng)的探索路徑。

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幾乎所有數(shù)學家都有強烈的直覺，可能是形式上的，可能是視覺上的。這里的視覺指的是頭腦中思考圖形、圖像的區(qū)域，而不是眼神——歐拉失明后工作效率不降反升。

在《數(shù)學領域中的發(fā)明心理學》（Psychology of Invention in the Mathematical Field）中，作者雅克·阿達馬（Jacques Hadamard）調(diào)查了一些出色的數(shù)學家，詢問他們是借助符號還是某種圖像來思考研究課題的。多數(shù)人選擇了視覺想象力，即使他們思考的問題及其解決方案總體上更偏重符號。

這種激發(fā)可視（可感觸）圖像的傾向早在花拉子米的《代數(shù)學》中就已有所顯露，原書名中出現(xiàn)了本意為“平衡”的詞語?，F(xiàn)在的數(shù)學老師也經(jīng)常使用圖像思路教學。等式的兩邊被看作放置在天平兩個托盤中的物體總和，必須保持平衡。對等號兩側進行的操作要符合代數(shù)規(guī)則，將平衡維持下去。

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最終，一個托盤中只剩未知數(shù)，另一個托盤中則出現(xiàn)一個具體的數(shù)，這就是答案。數(shù)學家解方程時經(jīng)常想象符號在移動（這就是為什么他們依然愛用黑板和粉筆：擦擦寫寫之間，符號仿佛真的動了起來）。花拉子米的《代數(shù)學》中也有更明顯的幾何思維，包括通過補全正方形來解二次方程的示意圖。

在多數(shù)情況下，數(shù)學思維并不會嚴格遵循邏輯推理的步驟，只有在針對結果整理嚴謹?shù)淖C明時，數(shù)學家才會這樣做。通常來講，第一步是獲得正確的想法，這往往意味著通過模糊地思考結構問題形成某種戰(zhàn)略構想；下一步是想出實現(xiàn)它的策略；最后一步是用形式化的術語重寫一切，呈現(xiàn)一個簡潔、合乎邏輯的故事（也就是高斯移除腳手架的步驟）。

在實踐中，大多數(shù)數(shù)學家會交替使用兩種思維：在不清楚如何推進時，或是在試圖獲得概況時，他們會求助于圖像；而在知道該怎么做但不確定會引出什么結果時，他們會求助于符號計算。然而，有些人似乎不管不顧，只用符號來思考。

超強的數(shù)學能力與其他任何因素都沒有必然聯(lián)系，它似乎是隨機出現(xiàn)的。有些人和高斯一樣，3 歲就“開竅”；有些人和牛頓一樣，小時候沒什么正經(jīng)事，卻在后來的人生中綻放光彩。年幼的孩子一般都喜歡數(shù)字、形狀和圖案，但隨著年齡的增長，很多人對這些失去了興趣。

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我們中的大多數(shù)人能通過受教育達到高中程度的數(shù)學水平，但繼續(xù)提高的人是少數(shù)，有些人甚至從未真正入門。許多職業(yè)數(shù)學家有一種強烈的印象，那就是在數(shù)學天賦面前，并沒有人人平等這一說。如果你平日里總覺得學校里教的數(shù)學簡單明了，卻又經(jīng)常發(fā)現(xiàn)有人在為基礎知識頭疼，你自然會有這種看法。

當你發(fā)現(xiàn)自己教導的一部分學生對簡單的概念感到困惑，另一部分學生卻能立即掌握復雜的概念時，這種感覺就會更加強烈。

也許這種趣聞似的證據(jù)并不可靠，很多教育心理學家有不同看法。心理學界一直流行一種關于兒童心智的“白板”觀點。任何人可以做任何事情，他們需要的只是接受訓練并大量練習。

只要你足夠想干一件事，你就能干成它。（如果你沒有干成，那就說明你自己動力不足……真是巧妙的循環(huán)論證，體育評論員就非常喜歡這個。）如果真是這樣那就太好了，但史蒂文·平克（Steven Pinker）在《白板》（The  Blank Slate）一書中打破了這種過度強調(diào)正能量的希望。

總的來說，如果不是真的熱愛自己的工作，人們不會努力奮斗、取得成功。數(shù)學巨人也會認真練習，即使是天生奇才，也需要一定的鍛煉強度來保持狀態(tài)，因為你必須不斷練習才能發(fā)揮天賦，但更主要的原因是他們樂意。就算遇到了困難、陷入了枯燥，他們也能以某種奇特的方式樂在其中。

天生的數(shù)學家只要不被關起來，就一定會研究數(shù)學；哪怕真的身陷囹圄，他們也要在墻上劃拉方程。

歸根結底，這才是數(shù)學巨人們身上一脈相承的共同點。他們熱愛數(shù)學。他們癡迷于數(shù)學。他們別無所求。他們可以放棄收入更高的職業(yè)，可以不顧家人的勸告，即使許多同事認為他們瘋了，他們也義無反顧地堅持下去，甚至能接受默默無聞地死去。他們可以授課多年卻分文不取，只為在行業(yè)里站穩(wěn)腳跟。巨人之所以成為巨人，是因為他們有這樣的動力。

這樣的動力從何而來？

這是一個謎。

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