“根據(jù)熱力學(xué)第二定律，世間萬物，遲早會(huì)爛掉。”這是伍迪·艾倫電影中的一句臺(tái)詞。

物理學(xué)的熱力學(xué)第二定律稱為“熵增定律”。它揭示了一個(gè)殘酷的事實(shí)：一個(gè)孤立系統(tǒng)總是自發(fā)地向著無序發(fā)展，總熵值會(huì)一直增大，直至達(dá)到熱平衡。在這里，“熵”是衡量混亂程度的物理量，熵值越高，系統(tǒng)越混亂（如圖1所示）。 照此推演，宇宙的未來注定將走向無序，最終歸于沉寂與虛無。

圖1：兩種系統(tǒng)的熵對(duì)比

收回蔓延的思緒，作為一個(gè)物理量，那么物理學(xué)家是如何定義并計(jì)算“熵”？

一、 熵：從熱力學(xué)到統(tǒng)計(jì)物理

1）熱力學(xué)定義：從可測過程出發(fā)

熵，這個(gè)概念來源于熱力學(xué)。在經(jīng)典熱力學(xué)中，德國物理學(xué)家克勞修斯把熵定義為“能量的退化”，他創(chuàng)造了entropy（德語 Entropie）這個(gè)詞，包含能量（對(duì)應(yīng)en）和轉(zhuǎn)變（對(duì)應(yīng)tropy）兩種意思，也就是在一個(gè)孤立系統(tǒng)中，熱量總是從高溫流向低溫，同時(shí)這個(gè)過程不可逆?？藙谛匏轨氐墓綖椋?/span>

dS=dQ/T（1）

其中，S代表熵，Q代表熱量，T代表溫度，這個(gè)公式表明微小熵變等于系統(tǒng)吸收（或放出）的微小熱量除以絕對(duì)溫度，熵的單位就是焦耳/開爾文 (J/K)。

其實(shí)中文的“熵”這個(gè)字，也和這個(gè)公式有關(guān)。1923年我國物理學(xué)前輩胡剛復(fù)教授首次把Entropy翻譯為“熵”，這是一個(gè)創(chuàng)造的新字，“火”字旁提示它出身于熱學(xué)語境；“商”在數(shù)學(xué)中表示除法運(yùn)算（熱力學(xué)Q和溫度T）的結(jié)果。

2）統(tǒng)計(jì)物理定義：從微觀計(jì)數(shù)出發(fā)

克勞修斯是從可測的熱力學(xué)過程出發(fā)，用宏觀物理量定義了熵。熵還有一個(gè)著名的表達(dá)式，它由玻爾茲曼提出，也被刻在他的墓碑之上：

S = k_B logΩ（2）

其中k_B其中代表玻爾茲曼常數(shù)（單位：J/K），Ω代表滿足同一宏觀約束（能量、體積等）時(shí)系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)的微觀狀態(tài)數(shù)。宏觀上我們只描述少數(shù)變量，微觀上卻存在海量細(xì)節(jié)，Ω越大，宏觀描述遺漏的信息越多，熵也越大。這個(gè)公式使用統(tǒng)計(jì)的方法來定義物理量，這也是統(tǒng)計(jì)物理一個(gè)直觀的意義。玻爾茲曼從微觀狀態(tài)數(shù)變化的角度，用統(tǒng)計(jì)物理的方法定義了熵，將宏微觀聯(lián)系起來。

而這兩個(gè)公式科學(xué)家通過推導(dǎo)可以證明，兩者是等同的。所以說，熵是統(tǒng)計(jì)物理與熱力學(xué)之間關(guān)鍵的橋梁之一。

當(dāng)我們把視野從熱力學(xué)系統(tǒng)拉到復(fù)雜系統(tǒng)：當(dāng)系統(tǒng)由海量自由度構(gòu)成（粒子、細(xì)胞、個(gè)體、節(jié)點(diǎn)……），我們往往只掌握局部規(guī)則與少數(shù)約束。統(tǒng)計(jì)物理提供的一種基本思路是：雖然不了解系統(tǒng)每個(gè)個(gè)體的具體行為，但只要個(gè)體數(shù)量足夠多，可以通過忽略細(xì)節(jié)噪聲，來抓住宏觀規(guī)律。

集智學(xué)園聯(lián)合上海大學(xué)李永樂教授推出了《統(tǒng)計(jì)物理基礎(chǔ)》課程，帶你進(jìn)入到物理的世界中思考，它不是一門枯燥理論或公式推導(dǎo)的課程，因?yàn)橛行┩苿?dòng)物理學(xué)的重要公式也并非是通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到的，而是一門鍛煉物理思考能力的課程，從無序中發(fā)現(xiàn)有序，從微觀到宏觀，來為復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行建模。

二、辨別熵的多面面孔

我們也要注意區(qū)分在日常生活中經(jīng)常聽到的“熵”：

• 信息熵（香農(nóng)熵）： 這是香農(nóng)借用了物理學(xué)的名詞，用來描述信息的不確定性，單位通常為bit。雖然它關(guān)注的是信號(hào)的概率分布而非能量轉(zhuǎn)換，但它與物理學(xué)中的玻爾茲曼熵在數(shù)學(xué)形式上是完全一致的。這種深層的同構(gòu)性，為后來物理學(xué)家用統(tǒng)計(jì)力學(xué)解釋人工智能埋下了伏筆。

• 社會(huì)/生態(tài)熵： 這是一個(gè)隱喻式的延伸。將社會(huì)的復(fù)雜性或能源的耗散稱為“熵增”，雖然在宏觀直覺上成立，但往往忽略了物理學(xué)中極其嚴(yán)格的“孤立系統(tǒng)”前提。

三、邏輯的階梯：統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)框架

統(tǒng)計(jì)物理構(gòu)建了一座連接微觀粒子行為與宏觀物質(zhì)屬性的嚴(yán)密邏輯橋梁。它擺脫了牛頓力學(xué)對(duì)單體軌跡的機(jī)械追蹤，轉(zhuǎn)而引入相空間這一概念——在相空間中，系統(tǒng)中微觀粒子瞬時(shí)位置與速度的信息濃縮為一個(gè)點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，統(tǒng)計(jì)物理以熵為核心，不再關(guān)心個(gè)體的信息，而是通過相空間中的概率分布來刻畫系統(tǒng)的演化方向。

該理論體系以熱力學(xué)公理為基石，利用系綜理論——一種通過構(gòu)建大量假想副本來進(jìn)行統(tǒng)計(jì)抽樣的方法——將原本復(fù)雜的物理問題重構(gòu)為統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)問題。在此基礎(chǔ)上，確立了配分函數(shù)連接起微觀能級(jí)與宏觀觀測量。從經(jīng)典的玻爾茲曼分布到量子統(tǒng)計(jì)的全同性原理，再到描述相變與漲落的非平衡領(lǐng)域，統(tǒng)計(jì)物理成功地從龐雜的微觀概率中提煉出確定性的宏觀定律，可謂是綱舉目張，一葉知秋。

1）相空間：用分布替代軌跡

在牛頓力學(xué)的宏偉版圖下，我們習(xí)慣于通過解析每一個(gè)粒子的受力與軌跡來計(jì)算未來的運(yùn)動(dòng)。然而，面對(duì)一個(gè)包含 10²³ 量級(jí)粒子的宏觀系統(tǒng)，這種個(gè)體追蹤的方法論無異于大海撈針。統(tǒng)計(jì)物理的出發(fā)點(diǎn)很樸素：我們承認(rèn)細(xì)節(jié)不可得，于是轉(zhuǎn)向更可控的對(duì)象——概率與約束。熵在這里獲得一種更精確的身份：它度量在既定宏觀約束下，系統(tǒng)還剩下多少“微觀可能性”，并由此牽引出宏觀演化的方向。

為了承載這種“以概率代替軌跡”的方法，統(tǒng)計(jì)物理引入相空間：系統(tǒng)的一個(gè)微觀態(tài)對(duì)應(yīng)相空間中的一個(gè)點(diǎn)；系統(tǒng)對(duì)外呈現(xiàn)的宏觀狀態(tài)，對(duì)應(yīng)相空間中一大片區(qū)域。我們不再糾纏單個(gè)點(diǎn)的命運(yùn)，而關(guān)心系統(tǒng)在相空間中的概率分布如何隨時(shí)間流動(dòng)。把演化寫成分布的變化，熵就自然登場：它衡量分布“鋪開”的程度，也衡量約束之下可實(shí)現(xiàn)微觀態(tài)集合的體量。

2）基礎(chǔ)理論：熵是連接宏微觀的橋梁

玻爾茲曼熵將一個(gè)宏觀狀態(tài)理解為大量微觀實(shí)現(xiàn)方式的集合，其大小的對(duì)數(shù)自然成為衡量系統(tǒng)“最可能呈現(xiàn)何種狀態(tài)”的尺度。在此基礎(chǔ)上，熵極大原理并非引入額外假設(shè)，而是對(duì)大數(shù)規(guī)律的物理表達(dá)：系統(tǒng)幾乎必然停留在微觀實(shí)現(xiàn)數(shù)占據(jù)壓倒性優(yōu)勢的宏觀狀態(tài)附近。進(jìn)一步地，當(dāng)約束條件以平均量的形式給出時(shí)，最大熵原理直接導(dǎo)出玻爾茲曼分布及其配分函數(shù)。由此，統(tǒng)計(jì)物理建立起一套標(biāo)準(zhǔn)化的跨尺度協(xié)議：從微觀哈密頓量出發(fā)，通過熵的極值化構(gòu)造配分函數(shù)，再由其系統(tǒng)性地生成能量、自由能及響應(yīng)函數(shù)等宏觀物理量。所謂確定性的熱力學(xué)定律，并非概率描述的對(duì)立面，而正是從龐雜無序的概率結(jié)構(gòu)中被“提煉”出的最穩(wěn)定結(jié)果。

構(gòu)建這一邏輯階梯的首要環(huán)節(jié)，是對(duì)宏觀熱力學(xué)框架的公理化完善。邏輯的嚴(yán)密性要求我們：只有先行明確系統(tǒng)的宏觀約束狀態(tài)，才能賦予微觀統(tǒng)計(jì)以物理意義。熱力學(xué)第一、二定律不僅是能量守恒與耗散的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，更是為系統(tǒng)演化劃定了“可能”與“不可能”的絕對(duì)邊界。通過引入特性函數(shù)，我們將復(fù)雜的物理環(huán)境抽象為簡潔的數(shù)學(xué)表達(dá)式：內(nèi)能 U(S, V, N)對(duì)應(yīng)孤立背景，而吉布斯自由能 G(T, P, N) 則完美契合了恒溫恒壓的現(xiàn)實(shí)實(shí)驗(yàn)室條件。而麥克斯韋關(guān)系式的對(duì)稱美：

3）系綜進(jìn)階：物理系統(tǒng)的重構(gòu)

在前文的基礎(chǔ)之上，邏輯階梯進(jìn)入了革命性的階段：系綜理論與公理化假設(shè)。這也是李永樂教授課程的核心論域——即如何通過概率邏輯重構(gòu)物理系統(tǒng)。

對(duì)于一個(gè)完全孤立的系統(tǒng)，統(tǒng)計(jì)物理擲下了它的邏輯骰子：等概率原理。在這一假設(shè)下，熵被重新定義為玻爾茲曼公式：S = k_B lnΩ這里的 Ω 代表給定能量下系統(tǒng)所能占據(jù)的微觀狀態(tài)總數(shù)。這是邏輯階梯上最關(guān)鍵的跨越，它成功地將物理演化問題轉(zhuǎn)化為組合數(shù)學(xué)的計(jì)數(shù)問題，賦予了熱力學(xué)第二定律以統(tǒng)計(jì)學(xué)的靈魂。

隨著系統(tǒng)與外界環(huán)境交互方式的改變，系綜理論呈現(xiàn)出遞進(jìn)的邏輯層次，如圖2所示，我們可以大致分為五種統(tǒng)計(jì)系綜：三種正則系統(tǒng)與等壓等溫（類似實(shí)驗(yàn)室系統(tǒng)）與等焓等壓系。當(dāng)系統(tǒng)與龐大的熱庫接觸時(shí)，能量的交換使得單一能量狀態(tài)不再恒定，系統(tǒng)進(jìn)入正則系綜。此時(shí)，系統(tǒng)處于某一能量狀態(tài)的概率不再相等，而是服從玻爾茲曼分布：

圖2 不同系綜對(duì)比示意圖（從左到右）：微正則系、正則系、巨正則系、等壓等溫系、等焓等壓系

在整條統(tǒng)計(jì)物理的邏輯鏈條中，配分函數(shù)Z扮演著連接微觀能級(jí)與宏觀觀測量的“唯一中介”角色。對(duì)于正則系綜，配分函數(shù)的定義不僅僅是一個(gè)求和式：

4）量子系統(tǒng)：新的規(guī)則？

當(dāng)進(jìn)入微觀粒子的量子領(lǐng)域，經(jīng)典的連續(xù)分布被離散的量子態(tài)取代。當(dāng)?shù)虏剂_意波長與粒子平均間距接近，粒子波函數(shù)開始重疊，粒子變得不可區(qū)分，全同性原理便開始占主導(dǎo)地位。此時(shí)必須區(qū)分兩類粒子：費(fèi)米子與玻色子。費(fèi)米子交換兩粒子時(shí)，波函數(shù)變號(hào)（反對(duì)稱），而玻色子交換兩粒子時(shí)，波函數(shù)不變（對(duì)稱），這兩種粒子會(huì)導(dǎo)致截然不同的統(tǒng)計(jì)行為。直觀來看三者在分布上存在顯著差異，如圖3所示，橫軸表示能級(jí)相對(duì)于化學(xué)勢的無量綱能量差，反映粒子占據(jù)該能級(jí)所需付出的熱學(xué)代價(jià)；縱軸表示在熱平衡條件下單位能級(jí)上的平均粒子數(shù)。藍(lán)線為玻色–愛因斯坦分布，低能區(qū)占據(jù)數(shù)迅速增大，體現(xiàn)玻色子可無限聚集的量子特性，是玻色–愛因斯坦凝聚的基礎(chǔ)；紅線為費(fèi)米–狄拉克分布，低能區(qū)占據(jù)數(shù)受限于不超過 1，體現(xiàn)泡利不相容原理；橙線為玻爾茲曼分布，對(duì)應(yīng)經(jīng)典極限。在高能區(qū)三條曲線逐漸重合，表明量子統(tǒng)計(jì)在高能或高溫條件下統(tǒng)一回歸經(jīng)典行為。

圖3 平均占據(jù)數(shù) ?n? 與 β(ε?μ)的關(guān)系（β=1/kT，μ 為化學(xué)勢）：Bose-Einstein分布（藍(lán)）顯示低能級(jí)的強(qiáng)聚集趨勢，F(xiàn)ermi-Dirac分布（紅）受泡利不相容限制，Maxwell-Boltzmann分布（橙）給出經(jīng)典稀薄極限。

而量子全同的真正影響在于：它改寫了統(tǒng)計(jì)物理最底層的“狀態(tài)計(jì)數(shù)規(guī)則”——同類粒子交換不再產(chǎn)生新微觀態(tài)，并且玻色子/費(fèi)米子分別允許或禁止同一量子態(tài)的重復(fù)占據(jù)。由于熵本質(zhì)上是Ω的對(duì)數(shù)、而配分函數(shù)Ζ是對(duì)所有允許微觀態(tài)的加權(quán)求和（量子情形為在對(duì)稱/反對(duì)稱態(tài)空間上取跡），一旦計(jì)數(shù)規(guī)則改變，Ω、Ζ、以及由Ζ導(dǎo)出的內(nèi)能、熱容、漲落乃至相變門檻都會(huì)隨之改變。所謂“高溫回歸經(jīng)典”，正是因?yàn)樵谙”O限下占據(jù)數(shù)很小，這些量子計(jì)數(shù)限制幾乎不再被觸發(fā)。

5）真實(shí)世界：漲落無處不在

經(jīng)典的平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理構(gòu)建了一個(gè)靜態(tài)的理想框架，但真實(shí)的物理世界往往處于劇烈的漲落與演化之中。在李永樂教授課程的后半部分，我們將視角轉(zhuǎn)向更復(fù)雜的物理圖景。

首先是相變——這是平衡態(tài)中“漲落”由量變引起質(zhì)變的時(shí)刻。當(dāng)外部參數(shù)跨越臨界點(diǎn)，系統(tǒng)內(nèi)部的關(guān)聯(lián)長度趨于無窮，微觀漲落不再相互抵消，而是宏觀涌現(xiàn)，導(dǎo)致對(duì)稱性自發(fā)破缺。朗道理論通過“序參量”巧妙地捕捉了這種秩序的生滅。更進(jìn)一步，當(dāng)我們真正踏入非平衡統(tǒng)計(jì)物理的大門，我們不再僅僅關(guān)注狀態(tài)的概率分布，更關(guān)注系統(tǒng)對(duì)外界的響應(yīng)。這里存在一個(gè)連接平衡與非平衡的宏偉橋梁——漲落-耗散關(guān)系。它告訴我們：系統(tǒng)在平衡態(tài)下自發(fā)的“漲落”特性，直接決定了它在非平衡條件下對(duì)外界擾動(dòng)的“耗散”能力（如電阻、粘滯）。這種深層的統(tǒng)一性，正是統(tǒng)計(jì)物理從靜態(tài)走向動(dòng)態(tài)、從結(jié)構(gòu)走向演化的關(guān)鍵一步。

至此，從微觀到宏觀、從經(jīng)典到量子、從平衡到非平衡，統(tǒng)計(jì)物理的邏輯階梯終于搭建完畢。

統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)框架是一套嚴(yán)密的自洽邏輯體系。李永樂教授主講的《統(tǒng)計(jì)物理基礎(chǔ)》課程，正是遵循上述邏輯階梯，通過“問題驅(qū)動(dòng)”的方法，將枯燥的公式還原為生動(dòng)的物理直覺。

• 對(duì)于初學(xué)者： 重點(diǎn)在于理解系綜理論如何從統(tǒng)計(jì)平均中“涌現(xiàn)”出宏觀定律。

• 對(duì)于進(jìn)階者： 核心在于掌握配分函數(shù)這一工具，去處理如復(fù)雜流體、磁性材料乃至神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等前沿問題。

四、 跨學(xué)科的應(yīng)用前沿：

當(dāng)生成模型遇見非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)

在傳統(tǒng)視野中，統(tǒng)計(jì)物理處理的是物質(zhì)實(shí)體，而人工智能處理的是信息數(shù)據(jù)。然而，隨著深度學(xué)習(xí)尤其是生成式擴(kuò)散模型的橫空出世，這兩者的界限正在被數(shù)學(xué)邏輯打破。2025年1月發(fā)表Physical Review E上的一篇研究[7]，讓我們看到了一幅統(tǒng)計(jì)物理與深度學(xué)習(xí)完美交融的圖景。

圖4 擴(kuò)散模型示意圖。從左到右，前向擴(kuò)散過程，熵增；從右到左，逆向生成過程，熵減。

該研究的核心洞見在于，將AI生成圖片的逆向過程，精確映射為物理學(xué)中的朗之萬動(dòng)力學(xué)（一種引入了隨機(jī)熱噪聲的運(yùn)動(dòng)方程）。如圖4的擴(kuò)散模型示意圖中，我們可以把前向過程想象為一滴墨水在清水中擴(kuò)散，這是一個(gè)熵增的、趨向無序高斯分布的自然過程；而擴(kuò)散模型的魔法，在于通過學(xué)習(xí)一個(gè)“力場”，強(qiáng)行讓時(shí)間倒流，從混沌的白噪聲中“逆流而上”重構(gòu)出有序的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這不僅是算法的勝利，更是非平衡態(tài)熱力學(xué)的直接體現(xiàn)。

圖5 二維高斯混合數(shù)據(jù)生成擴(kuò)散過程的示意圖。包括從時(shí)間t = 0到時(shí)間t = 3的前向擴(kuò)散過程與從時(shí)間t = 3到時(shí)間t = 0的逆向生成過程。

如圖5所示，研究利用二維高斯混合數(shù)據(jù)生成擴(kuò)散模型來模擬人工智能需要處理的、經(jīng)過“熵增”的信息數(shù)據(jù)（藍(lán)色軌跡），那么算法是如何在混亂的數(shù)據(jù)流中“逆行“復(fù)原出有序結(jié)構(gòu)的呢（綠色軌跡）？究其原因，他們是利用路徑積分與自旋玻璃理論，特別是Franz-Parisi勢能，揭示了生成過程中存在的動(dòng)力學(xué)相變。研究指出，數(shù)據(jù)生成的各個(gè)階段并不均等：在去噪的初期，系統(tǒng)處于類似于“順磁相”的無序狀態(tài)，演化是線性的、平庸的；但隨著噪聲降低跨越某一臨界點(diǎn)，系統(tǒng)發(fā)生自發(fā)對(duì)稱性破缺，進(jìn)入類似于“鐵磁相”的吸引子區(qū)域。此時(shí)，模糊的像素突然坍縮成清晰的語義特征——正如過冷水瞬間結(jié)冰。這種物理視角的引入，不僅量化了生成過程中的熵產(chǎn)生與能量消耗，更為我們理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)如何從龐大的相空間中“鎖定”現(xiàn)實(shí)世界，提供了一個(gè)基于物理第一性原理的解釋。這再次證明，統(tǒng)計(jì)物理不僅是描述原子的語言，也是理解智能涌現(xiàn)的語法。

注：以上圖源均來自網(wǎng)絡(luò) （除論文標(biāo)注外）

參考文獻(xiàn)

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7. Yu, Zhendong, and Haiping Huang. "Nonequilbrium physics of generative diffusion models."Physical Review E 111.1 (2025): 014111.